zton2021の曖昧日記

日々思うことを書きます。数学は学習メモとして、勉強したこと、思うことを一生懸命書いていますが間違い勘違いも含むかもしれません。間違いに気がついた時点で、加筆修正するつもりです。(注)数式はMathMLで表記し、Safariで表示を確認しています。Safari以外のブラウザでは表示がおかしいことがあるようです。

ガロア理論曖昧メモ3(ガロア群その1)

丁寧にガロア理論を勉強して、なんとなく書いていることは理解できた気にはなっていたが、ひと月もするとなんだかよくわからなくなってしまう。手元には勉強した時の多量のメモだけが残る。理解したくて勉強したガロア理論だから、時々思い出しては、新たにメモを書き加える、曖昧模糊としていたとしても。

 

体Kの元を係数に持つ多項式f(X)の根(解とはちょっとニュアンスが違うらしい) α 1 , α 2 , , α n  全てをKに追加した体Lを考える;

     L = K α 1 , α 2 , , α n

f(x)が既約多項式かどうかは常に気になるが、解の公式の有無を調べようとしており、既約でなければその既約因子をベースに考えれば良いので、以降f(X)は既約とする。したがって、  α 1 , α 2 , , α n は全て異なるものとする。

体Kとはなんでも良いのかというとそうでも無いらしい。変わった体を考えると議論がまた脇道に逸れるのでごく普通の体を想定する。Kは自然数くらいは含んでほしい。そうすると体だから、Kは有理数を全て含む。代数学の基本定理により複素数係数の多項式複素数の範囲で全ての根を持つので、Kは複素数の部分体で、有理数体にいろいろ複素数を加えて拡大した体、という前提で話を考える。そうしないと、f(X)の全ての根を考えると言うこと自体が曖昧になる。不定元を係数とする多項式の根について考える場合は若干話は異なるようにおもうが、それはそれで興味深い話題なので別途考えることにする。

 

以下、理解の及ばない勘違いも含むかもしれないが、、、とりあえず

f(X)の根から作った体Lのガロア群が可解という性質を持つことと、方程式f(X)=0は冪根と四則演算のみを使って解けるということは同値。

ガロア群というのはKの元を不変とする体Lの自己同型写像全体の成す群

ガロア群とは何やら難しそうであるが、ガロア群の元τを考えるとLの元zは  α 1 α 2 , , α n のK係数多項式を分母分子とする分数式として表現され、τはKの元を不変とする同型写像(以下K同型)であるから、τ(z)は分母分子それぞれの α 1 α 2 , , α n  を  τ α 1 , τ α 2 , , τ α n で置き換えたものになる。ここで、各  τ α k  はf(X)の根である。なぜなら f α k = 0  より τ f α k = 0  。従ってτは K同型だからf τ α k = 0  となるからである。

τは単射だから、  τ α 1 , τ α 2 , , τ α n は全て異なる。結局、τは f(X)の根α 1 , α 2 , , α n の置換、従って{1,2,...,n}の置換と考えられる。

逆に、どんな根  α 1 , α 2 , , α n の置換でもガロア群の元としてのK同型を定めるか、というとそうではなく、置換が正当(well defined)でなければならない。つまり、Lの一つの元に対して、 α 1 , α 2 , , α n  の式として、いくつか異なる表現形式があったとしても、それぞれの  α 1 , α 2 , , α n  を置換τにより機械的に置き換えた結果のどれもが、表現形式が異なるとしても「等しく」ならねばならない(そうでなければτは写像ではない)。簡潔に書くと、、、Lの元zついて、その式中の各  α k について、 α 1 , α 2 , , α n の置換としてのτを機械的に作用させたとき、その結果を同じτを使ってτ(z)と書くものとする。この時、z=z'ならばτ(z)=τ(z')  でなければならない。こう書くと何か当たり前のことを書いているように見えるから「等しい」ことの意味するところは悩ましい。等式で表現すると、「表現形式が異なっているかも知れないが等しい」という情報が見えなくなるからである。

話を元に戻すと、そのようなwell definedな  α 1 , α 2 , , α n の置換τ全体が体Lのガロア群となる。それはどうしたら具体的にもとまるのか、、、(続く)