zton2021の曖昧日記

日々思うことを書きます。数学は学習メモとして、勉強したこと、思うことを一生懸命書いていますが間違い勘違いも含むかもしれません。間違いに気がついた時点で、加筆修正するつもりです。(注)数式はMathMLで表記し、Safariで表示を確認しています。Safari以外のブラウザでは表示がおかしいことがあるようです。

ガロア理論曖昧メモ2(等号)

等号あるいは等値や同値などは何やら悩ましい。

有理数体Qの元を係数とする有理関数体  Q X   において、Xに 2 を代入する、ということは、どういうことか。

Q X  の元におけるXはX以外の何者でも無いはずであるが、「有理関数体」という名前が示すようにXには何か数を代入してもらうことを前提としているようだ。

Q X における2元が「等しい」ときそれぞれの元のXに  2 を代入してもその「等しさ」が保たれることは暗黙の了解であるので、これでいいのですね。つまり  Q X における見かけ上異なる2元が等しいことと、 Q 2 におけるそれとは、 2 2 = 2  であることを使うかどうかを除いて、ほぼ同じ意味であるということはすでに了解済みだということです。これでいい、のでしょうけど、なんだか天下り感が拭えない。

馴染みのある  2 を使った数の世界からそれを、あたかも初めて出会うかのような顔をして、今更全く自由になるなんて、できる訳もないし、する必要もない。まさか、 X 2 - 2 = 0  から導出されるなんらかの同値関係で  Q X を割ったものを考えましょうなんていっても詮無いことなのだろう。しかし、ガロア理論を学んでいる時には、方程式の解とは何かを考えていると言うことなので、こう言う細かいこともちょっと考えてみたいような気もする。